Merhaba arkadaşlar.. Bu makalemde sizlere PID (Oransal-Türevsel-İntegral) katsayılarının nasıl hesaplandığını anlatacağım.
Bu çalışmada Ziegler–Nichols yöntemi ile öz–uyarmalı PID parametreleri ayar yöntemi kullanılmıştır.
1. PID Katsayılarının Öz-Uyarlamalı Ayarı
Yukarıdaki grafiğe göre türevsel denetleyici aşma ve yerleşme zamanını azaltır, yükselme
zamanını ve kararlı hal hatasını çok az etkiler.
Bu durumda asma olmayan, hızlı yükselme zamanına sahip ve kararlı hal hatası olmayan bir sistem elde edilir.
- [message]
- NOT
- Bu makaleyi okumaya başlamadan önce PID Kontrol Algoritması hakkında temel bir bilgiye sahip olmanız ve aşağıda verdiğim linklere bakmanız tavsiye edilir
Bu çalışmada Ziegler–Nichols yöntemi ile öz–uyarmalı PID parametreleri ayar yöntemi kullanılmıştır.
1. PID Katsayılarının Öz-Uyarlamalı Ayarı
Katsayıların öz-uyarlamalı ayarı, kontrolörün kendi kendine sistem dinamiklerini algılaması ve bu değerlere göre kendi katsayılarını kendisinin belirlemesi demektir.
Bunun pratikte şu avantajları vardır:
Sistem için en uygun kontrol parametreleri belirlenebilir.
Sistemde oluşacak değişmeleri algılayarak kendini adapte edebilir.
Kontrolör değerlerini önceden hesaplama işlemine gerek kalmaz.
Kontrolör sadece tek bir sisteme özel kalmaz, pek çok sistem için kullanılabilir olur.
2. Ziegler–Nichols Metodu
Ziegler–Nichols metodu PID parametrelerinin hesaplanmasında en yaygın olarak kullanılan metot olup sistem modeli gerektirmez.
Ziegler Nichols ile çok başarılı sonuçlar alınabilir. Ziegler Nichols deneme yanılma yolunun yönteme dökülmüş halidir, sisteme makul bir Kp değeri verilerek başlandıktan sonra osilasyona sokulup tekrar çıkartılarak Ki ve Kd değerleri bulunur. Bu sayede kafadan deneme yanılmaya girip zaman kaybını önler. İster deneme yanılma ister Ziegler Nichols olsun denemeleri yapabilmek için sistemin kritik olmayan (insan hayatı ve maddi bakımdan) ve kararlı bir sistem olması da gereklidir. Kararlılığını test etmek için birçok yöntem vardır. En basitinden yapabiliyorsanız Analog Input-Output kartlı bir PLC kullanıp sisteme birim basamak verip basamak cevabına bakabilir ve basamak cevabını excel'e çekip MATLAB'a atarak sisotool ile sistem transfer fonksiyonunu belirleyebilirsiniz. Daha sonra da PID kontrol paramatrelerini çıkartıp, ufak düzeltmelerle sisteme uygulayabilirsiniz.
Ziegler–Nichols Metodu açık çevrim ve kapalı çevirim olmak üzere ikiye ayrılmaktadır.
2.1. Açık Çevrim Ziegler–Nichols Metodu
Bu metot birçok sistem için kullanışlıdır. Açık çevrim Ziegler–Nichols metodunda sistemin ölü zamanı ve maksimum eğimi hesaplanır. Hesaplanan bu değerler gerekli formüller kullanılarak PID kontrolör için gereken katsayılar hesaplanır. şekilde ölü zamana sahip birinci dereceden bir sistemin çıkış grafiği görülmektedir. Bu sisteme ait genel formül şu şekildedir.
Şekildeki eğrideki K ve T değerlerinden faydalanılarak denklemdeki R olarak ifade edilen değer elde edilir.
Şekildeki değerler kullanılarak aşağıda verilen tabloda PID parametreleri hesaplanır.
2.2. Kapalı Çevrim Ziegler–Nichols Metodu
2.2. Kapalı Çevrim Ziegler–Nichols Metodu
Kapalı çevrim Ziegler–Nichols metodu ile sistemin cevap eğrisinin osilasyona girmesi sağlanır. Aşağıdaki şekilde; sistem çıkışının a noktasına geldiği noktadaki kazanç değeri osilasyon kazancı(Ku) olarak ifade edilir ve osilasyon periyodu(Pu) ile kullanılarak gerekli PID katsayıları aşağıdaki tabloda formüller kullanılarak hesaplanabilir.
ÖRNEK UYGULAMA
Basit bir kütle, yay ve tampondan oluşan bir problemimiz olduğunu varsayalım..
Bu sistemin model denklemi;
Yukarıdaki denklemin laplace dönüsümünü alırsak;
Yer degisim X(s) ve giris F(s) arasındaki transfer fonksiyonu
olur.
• M = 1kg
• b = 10 N.s/m
• k = 20 N/m
• F(s) = 1 olarak alıp değerleri yerine koyduğumuzda transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.
Problemin amacı Kp,Ki ve Kd’nin ;
• Daha hızlı yükselme zamanı
• En az aşma
• Sıfır kalıcı durum hatası , elde etmedeki katkılarını göstermektedir
ÇÖZÜM METODU:
1. Açık Döngü Adım Tepkisi
İlk önce açık döngü adım tepkisini Matlab komutları ile ifade edelim.
num=1;
den=[1 10 20];
step(num,den)
Bu m-kütük’ün Matlab komutlarıyla çalıştırılmasıyla aşağıdaki grafik elde edilir.
Denetlenen sisteme ait transfer fonksiyonunun DC kazancı 1/20’dir, bu yüzden birim
basamak girisi uygulandıgında çıkıs degeri en yüksek 0,05 olur. Bu kararlı hal hatasının 0,95’i
ile uyusur, yani 1 büyüktür. Ayrıca, yükselme zamanı yaklasık 1 saniye ve yerlesme zamanı
yaklasık 1,5 saniyedir.
Kalıcı durum hatasını ortadan kaldıracak, yükselme zamanını kısaltacak, yatışma zamanını azaltacak şekilde denetleyiciyi yeniden tasarlayalım.
2. Oransal Kontrol (P)
Yukarıdaki tabloda oransal denetleyicinin (Kp)yükselme zamanını düşürdüğünü, asmayı arttırdığını ve kararlı hal hatasını azalttığını görmüştük. Yukarıdaki sistemin oransal denetleyicili kapalı
döngü transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir.
Oransal kazancı (Kp) 300’e eşit kabul edelim ve kütüğü su şekilde değiştirelim.
Kp=300;
num=[Kp];
den=[1 10 20+Kp];
t=0:0.01:2;
step(num,den,t)
Bu kütüğün Matlab komutlarıyla çalıştırılması halinde aşağıdaki grafik elde edilir
Yukarıdaki grafik bize oransal denetleyicinin yükselme zamanını ve kararlı hal hatasını
düşürdüğünü, aşmayı arttırdığını ve yerleşme zamanını az bir miktarda düşürdüğünü
göstermektedir.
NOT:
cloop olarak adlandırılan Matlab fonksiyonuyla kapalı döngü transfer fonksiyonu, açık
döngü transfer fonksiyonundan direkt olarak elde edilir. Cloop komutunun kullanılmasıyla
yukarıdakiyle özdeş bir grafik elde edilir
num=1;
den=[1 10 20];
Kp=300;
[numCL,denCL]=cloop(Kp*num,den);
t=0:0.01:2;
step(numCL, denCL,t)
3. Oransal-Türevsel Kontrol (PD)
Şimdi PD kontrolü inceleyelim. tabloya göre türevsel denetleyici (KD), yerleşme zamanını
ve asmayı azaltır. PD kontrollü bir sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonu asağıdaki
gibidir.
Kp’yi 300 ve KD’yi 10 alalım ve m_kütügü asagıdaki gibi değiştirelim.
Kp=300;
Kd=10;
num=[Kd Kp];
den=[1 10+Kd 20+Kp];
t=0:0.01:2;
step(num,den,t)
zamanını ve kararlı hal hatasını çok az etkiler.
4. Oransal-İntegral Kontrol (PI)
PID denetleyiciye girmeden önce PI denetleyiciyi inceleyelim. tabloya göre integral
denetleyici (Ki) yükselme zamanını azaltır,asma ve yerleşme zamanını arttırır, kararlı hal
hatasını yok eder. PI kontrollü bir sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir.
Kp’yi 30 ve Ki’yi 70 kabul edelim. M_kütükü şu şekilde değiştirelim.
Kp=30;
Ki=70;
num=[Kp Ki];
den=[1 10 20+Kp Ki];
t=0:0.01:2;
step(num,den,t)
Bu m_kütük Matlab komutlarıyla çalıştırıldığında aşağıdaki grafik elde edilir.
Hem oransal kazanç (Kp) hem de integral denetleyici yükselme zamanını azalttığı,
asmayı arttırdığı için çift etki oluşur. Bu etki integral denetleyicinin kararlı hal hatasını yok
ettiğini gösterir.
5. Oransal--Türevsel-İntegral Kontrol (PID)
Şimdi PID kontrolünü inceleyelim. PID kontrollü bir sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir.
Birkaç denemeden sonra istenilen tepkiyi elde etmek için kazançları Kp=350 Ki=300 KD=50
alalım. Bu durumda m_kütük aşağıdaki gibi olur.
Kp=350;
Ki=300;
Kd=50;
num=[Kd Kp Ki];
den=[1 10+Kd 20+Kp Ki];
t=0:0.01:2;
step(num,den,t)
Genel PID Denetleyici Tasarımı için İpuçları
PID denetleyici tasarımında istenilen tepkiyi elde etmek için aşağıdaki adımlar izlenir:
1. Açık döngü tepkisi bulunur ve ihtiyaçlar belirlenir.
2. Yükselme zamanını düzeltmek için oransal denetleyici eklenir.
3. Asmayı düzeltmek için türevsel denetleyici eklenir.
4. Kararlı hal hatasını yok etmek için integral denetleyici eklenir.
5. İstenilen tepki elde edilene kadar Kp, Ki ve KD ayarlanır. Hangi denetleyicinin hangi karakteristiği
kontrol ettiğini yukarıda verilen tablodan yararlanılarak bulabiliriz.
kontrol ettiğini yukarıda verilen tablodan yararlanılarak bulabiliriz.
Denetleyici tasarımında mümkün olduğu kadar basit tasarıma gidilmelidir. Eğer PI denetleyici ile istenilen tepki sağlanıyorsa, sisteme türevsel denetleyici eklenip sistem kompleks hale getirilmemelidir.